Question

6．已知函數f（x）=2$\sqrt{3}$sinxsin（${\frac{π}{2}$-x）+2cos²x+a的最大值為3．
（I）求f（x）的單調增區間和a的值；
（II）把函數y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）在（0，$\frac{π}{2}}$）上的值域．

Answer 1

分析 （I）利用三角函數恒等變換的應用化簡可得函數解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1+a，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的單調遞增區間，利用函數的最大值為3，可解得a的值．
（II）由函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，根據范圍2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，利用正弦函數的圖象和性質即可求得g（x）在（0，$\frac{π}{2}}$）上的值域．

解答 （本題滿分為12分）
解：（I）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sinxsin（${\frac{π}{2}$-x）+2cos²x+a
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+a
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1+a，
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，可得函數f（x）的單調遞增區間為：[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z，
∴由函數的最大值為3，可得3+a=3，解得a=0…6分
（II）由（I）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{6}$]+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}}$），
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[1-$\sqrt{3}$，3]，即g（x）在（0，$\frac{π}{2}}$）上的值域為[1-$\sqrt{3}$，3]…12分

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的圖象和性質的綜合應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于基礎題．