Question

已知橢圓經過點，離心率為，過點的直線與橢圓交于不同的兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由離心率為，得，再根據橢圓C過點，代入得，聯立之可求得的值，進而寫出橢圓方程；（2）考察直線和橢圓的位置關系，一般要將直線方程和橢圓方程聯立，得關于某一變量的一元二次方程，設交點，然后利用韋達定理達到設而不求的目的，同時要注意的隱含條件，該題設直線方程為，代入橢圓方程得，則>0,得的范圍，設交點，，將表示為，然后利用韋達定理將其表示為的式子，進而可以看成是自變量為的函數，求其值域即可.

試題解析：（1）由題意得 解得，．橢圓的方程為．

（2）由題意顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，

由得.  直線與橢圓交于不同的兩點，，

，解得.設，的坐標分別為，，則，，，．

．

，．的取值范圍為．

考點：1、橢圓的方程及簡單幾何性質；2、向量的數量積運算；3、韋達定理.