Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+5，曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1．
（1）求a，b的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先由求導公式和法則求出導數，再由點斜式求出切線方程并化為斜截式，再與條件對比列出方程，求出a和b的值；
（2）由（1）求出f′（x），再求出臨界點，列出表格，求出函數的極值和端點處的函數值，對比后求出函數在已知區(qū)間上的最大值．

解答：解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+5得，f′（x）=3x²+2ax+b，
∴y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程為：
y-f（1）=f′（1）（x-1），
即y-（a+b+6）=（3+2a+b）（x-1），
整理得y=（3+2a+b）x+3-a．
又∵y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1，
∴

3+2a+b=3 3-a=1

，解得

a=2 b=-4

，
∴a=2，b=-4．
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²-4x+5，
f'（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f'（x）=0，得x=

2

3

或x=-2．
當x變化時，f（x），f'（x）的變化如下表：

x	-3	（-3，-2）	-2	(-2， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，1)	1
f'（x）		+		-		+
f（x）	8	增	極大值	減	極小值	增	4

∴f（x）的極大值為f（-2）=13，極小值為f(

2

3

)=

95

27

，
又∵f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值為13．

點評：本題考查了導數的幾何意義，導數與函數的單調性、極值和最值關系，屬于中檔題．