Question

（2013•長春一模）若一個正四面體的表面積為S₁，其內(nèi)切球的表面積為S₂，則

S1

S2

=

6 3

π

．

Answer 1

分析：設(shè)正四面體ABCD的棱長為a，利用體積分割法計(jì)算出內(nèi)切球半徑r=

6

12

a，從而得到S₂關(guān)于a的式子．利用正三角形面積公式，算出正四面體的表面積S₁關(guān)于a的式子，由此不難得出S₁與S₂的比值．

解答：解：設(shè)正四面體ABCD的棱長為a，可得
∵等邊三角形ABC的高等于

3

2

a，底面中心將高分為2：1的兩段
∴底面中心到頂點(diǎn)的距離為

2

3

×

3

2

a=

3

3

a
可得正四面體ABCD的高為h=

a2- 1 3 a2

=

6

3

a
∴正四面體ABCD的體積V=

1

3

×S_△ABC×

6

3

a=

2

12

a³，
設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為r，則4×

1

3

×S_△ABC×r=

2

12

a³，解得r=

6

12

a
∴內(nèi)切球表面積S₂=4πr²=

πa2

6

∵正四面體ABCD的表面積為S₁=4×S_△ABC=

3

a³，
∴

S1

S2

=

3 a2

πa2 6

=

6 3

π

故答案為：

6 3

π

點(diǎn)評：本題給出正四面體，求它的表面積與其內(nèi)切球表面積的比值，著重考查了正四面體的性質(zhì)、球的表面積公式和多面體的外接、內(nèi)切球算法等知識，屬于中檔題．