Question

已知橢圓

x2

m

+

y2

n

=1與雙曲線

x2

p

-

y2

q

=1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦點F₁，F₂，P是兩曲線的一個公共交點．則|PF₁|•|PF₂|的值是（　　）

• A、p²-m²
• B、p-m
• C、m-p
• D、m²-p²

Answer 1

分析：設|PF₁|＞|PF₂|，根據橢圓和雙曲線的定義可分別表示出|PF₁|+|PF₂|和|PF₁|-|PF₂|，進而可表示出|PF₁|和|PF₂|，根據焦點相同可求得m-n=p+q，整理可得m-p=n+q，進而可求得|pF₁|•|pF₂|的表達式．

解答：解：由橢圓和雙曲線定義
不妨設|PF₁|＞|PF₂|
則|PF₁|+|PF₂|=2

m

|PF₁|-|PF₂|=2

p

所以|PF₁|=

m

+

p

|PF₂|=

m

-

p

∴|pF₁|•|pF₂|=m-p
∵焦點相同
c²=m-n=p+q
∴m-p=n+q
所以|pF₁|•|pF₂|=m-p或n+q
故選C

點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，橢圓和雙曲線的簡單性質．考查了學生的綜合運用所學知識解決問題的能力．