Question

19．方程$\frac{x|x|}{16}+\frac{y|y|}{9}=-1$的曲線即為函數y=f（x）的圖象，對于函數y=f（x），有如下結論：
①f（x）在R上單調遞減；
②函數F（x）=4f（x）+3x不存在零點；
③y=f（|x|）的最大值為3；
④若函數g（x）和f（x）的圖象關于原點對稱，則y=g（x）由方程$\frac{y|y|}{16}+\frac{x|x|}{9}=1$確定．
其中所有正確的命題序號是（　　）

• A． ③④
• B． ②③
• C． ①④
• D． ①②

Answer 1

分析 化簡方程$\frac{x|x|}{16}+\frac{y|y|}{9}=-1$，從而作出函數y=f（x）的圖象，
①由函數的圖象判斷函數的單調性；
②函數的零點可轉化為方程的解，再轉化為函數的圖象的交點，從而判斷零點；
③由函數的圖象的變換可求其最值；
④由函數的圖象的對稱性可得方程為$\frac{y|y|}{16}+\frac{x|x|}{9}=1$，從而判斷．

解答 解：①當x≥0且y≥0時，原方程化為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=-1，不成立；
當x＜0且y＜0時，原方程化為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
當x≥0且y＜0時，原方程化為$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=-1；
當x＜0且y≥0時，原方程化為-$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=-1；
作出函數的圖象如下，

故①正確；
②由F（x）=4f（x）+3x=0得，f（x）=-$\frac{3}{4}$x；
由上圖知方程無解，故②正確；
③根據①所作的圖象可知，函數y=f（|x|）的最大值為-3，故錯誤；
④若函數g（x）和f（x）的圖象關于原點對稱，則用-x，-y分別代替x，y；
可得g（x）=-f（-x），則函數y=g（x）的圖象是方程$\frac{x|x|}{16}+\frac{y|y|}{9}$=1確定的曲線，故不正確．
故選：D．

點評 本題考查了圓錐曲線的方程與其圖象，同時考查了函數的圖象及其變換，還考查了函數的圖象與性質的應用，屬于難題．