Question

在△ABC中，三內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知內角C為鈍角，向量

m

=（2sinA，-1），

n

=（sinA，cos2A+2）且

m

⊥

n

．
（1）試求角A的大小；
（2）試比較b+c與

3

a的大小．

Answer 1

考點：解三角形

專題：綜合題,解三角形

分析：（1）利用二倍角公式對原式化簡整理求得cos2A的值，進而根據A的范圍求得A的值．
（2）根據（1）中A的值，進而可推斷出B的范圍，△ABC的外接圓半徑為R，進而利用正弦定理把b+c-

3

a轉化成角的正弦，然后利用兩角和公式展開后化簡整理，進而根據B的范圍確定b+c-

3

a＜0，進而推斷出b+c與

3

a的大小．

解答： 解：（1）由向量

m

=（2sinA，-1），

n

=（sinA，cos2A+2）且

m

⊥

n

，
可得2sin²A-cos2A-2=0，得cos2A=-

1

2

，
又0＜A＜

π

2

，則2A=

2π

3

，故A=

π

3

；
（2）由（1）及已知得B+C=

2π

3

，又C∈（

π

2

，π），可得0＜B＜

π

6

設△ABC的外接圓半徑為R，則b+c-

3

a=2R（sinB+sinC-

3

2

）
=2R[sinB+sin（

2π

3

-B）-

3

2

]
=2R（sinB+sin

2π

3

cosB-cos

2π

3

sinB-

3

2

）
=2R（

3

2

sinB+

3

2

cosB-

3

2

）=2

3

R[sin（B+

π

6

）-

3

2

]，
∵0＜B＜

π

6

，
∴

π

6

＜B+

π

6

＜

π

3

，
∴

1

2

＜sin（B+

π

6

）＜

3

2

，
∴b+c＜

3

a．

點評：本題主要考查了二倍角公式的化簡求值，正弦定理的應用和正弦函數的性質．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．