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如圖,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2,E、F分別是AB、PD的中點.
(1)求證:AF∥平面PCE;
(2)求證:平面PCE⊥平面PCD;
(3)求四面體PEFC的體積.
【答案】分析:(1)設G為PC的中點,連接FG,EG,根據中位線定理得到FGCD,AECD,進而可得到AF∥GE,再由線面平行的判定定理可證明AF∥平面PCE,得證.
(2)根據PA=AD=2可得到AF⊥PD,再由線面垂直的性質定理可得到PA⊥CD,然后由AD⊥CD結合線面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD,同樣得到GE⊥平面PCD,再由面面垂直的判定定理可得證.
(3)先由(2)可得知EG為四面體PEFC的高,進而求出S△PCF,根據棱錐的體積公式可得到答案.
解答:解:(1)證明:設G為PC的中點,連接FG,EG,
∵F為PD的中點,E為AB的中點,
∴FGCD,AECD
∴FGAE,∴AF∥GE
∵GE?平面PEC,
∴AF∥平面PCE;
 
(2)證明:∵PA=AD=2,∴AF⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴PA⊥CD,∵AD⊥CD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,
∵AF?平面PAD,∴AF⊥CD.
∵PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD,
∴GE⊥平面PCD,
∵GE?平面PEC,
∴平面PCE⊥平面PCD;

(3)由(2)知,GE⊥平面PCD,
所以EG為四面體PEFC的高,
又GF∥CD,所以GF⊥PD,
EG=AF=,GF=CD=
S△PCF=PD•GF=2.
得四面體PEFC的體積V=S△PCF•EG=
點評:本題主要考查線面垂直的判定定理和性質定理、面面垂直的判定定理.考查對立體幾何中基本定理的掌握程度和靈活運用能力.
練習冊系列答案
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2
,E、F分別是AB、PD的中點.
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(2)求證:平面PCE⊥平面PCD;
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(1)求證:AF∥平面PCE;
(2)求證:平面PCE⊥平面PCD.

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如圖,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2
2
,E,F分別是AB、PD的中點.
(Ⅰ)求證:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)求證:平面PCE⊥平面PCD;
(Ⅲ)求二面角F-EC-D的大小.

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