Question

已知實數a＞0且a≠1，函數f（x）=log_ax在區間[a，2a]上的最大值比最小值大

1

2

，求實數a的值．

Answer 1

分析：分a＞1和0＜a＜1兩種情況來解，注意利用函數的單調性求出最值，再應用條件求a．

解答：解：當a＞1時，f（x）=log_ax在區間[a，2a]上是增函數，故最大值為f（2a），最小值為f（a），
所以log_a（2a）-log_aa=

1

2

，
所以a=4，滿足a＞1，
當0＜a＜1時，f（x）=log_ax在區間[a，2a]上是減函數，故最大值為f（a），最小值為f（2a），
所以log_aa-log_a（2a）=

1

2

，
所以a=

1

4

，滿足0＜a＜1，
綜上所述，a=4或a=

1

4

．

點評：本題考查函數的單調性與特殊點，體現分類討論的數學思想．