Question

如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，PA=AD，AB=AD，E是線段PD上的點，F是線段AB上的點，且．

   (I)判斷EF與平面PBC的關系，并證明；

   (Ⅱ)當=l時，證明DF 平面PAC；

   (Ⅲ)是否存在實數，使異面直線EF與CD所成角為60°?若存在，

試求出的值；若不存在，請說明理由． 

Answer 1

解:(Ⅰ)EF//平面PBC ,證明如下：

      

       作FG//BC交CD于G，連結EG ，則

     ∵   ∴   ∴ PC//EG 

     又 FG//BC，BC∩PC=C，FG∩GE= G

     ∴ 平面PBC//平面EFG

      又EF平面PBC

∴ EF//平面PBC

（Ⅱ）∵，則F為AB的中點

 又AB=AD，AF=AB

 ∴在Rt△FAD 與Rt△ACD中

  

∴ ∠AFD=∠CAD

∴ AC⊥DF

又∵PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD

∴PA⊥DF

∴DF⊥平面PAC

（Ⅲ）建立如圖所示空間直角坐標系，設PA=AD=1 ，則A（0,0,0），B（,0,0）

      D（0,1,0） C（,1,0）P（0,0,1）又

     ∴ F（）

設 E（0，y₀,x₀）則

又

∴（0，y₀，z₀-1）=（0，1-y₀，-z₀）

∴           即E（0，，）

∴

 

假設存在實數，是異面直線EF與CD所成的角為60⁰，則

 

∴    ∴

∴存在實數使異面直線EF與CD所成的角為60⁰