Question

（2008•寶坻區(qū)一模）某單位建造一間地面面積為12m²的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長(zhǎng)度x不得超過(guò)a米，房屋正面的造價(jià)為400元/m²，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m²，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5800元，如果墻高為3m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用．
（1）把房屋總價(jià)y表示成x的函數(shù)，并寫(xiě)出該函數(shù)的定義域．
（2）當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為多少時(shí)，總造價(jià)最底？最低總造價(jià)是多少？

Answer 1

分析：（1）分別算出房子的兩個(gè)側(cè)面積乘以150再加上房子的正面面積乘以400再加上屋頂和地面的造價(jià)即為總造價(jià)；
（2）我們可以先求房屋總造價(jià)的函數(shù)解析式，利用基本不等式或?qū)��?shù)即可求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到答案．

解答：解：（1）由題意可得，y=3(2x×150+

12

x

×400)+5800=900(x+

16

x

)+5800(0＜x≤a)…（5分）
（2）y=900(x+

16

x

)+5800≥900×2

x× 16 x

+5800=13000
當(dāng)且僅當(dāng)x=

16

x

即x=4時(shí)取等號(hào)…（7分）
若a≥4，x=4時(shí)，有最小值13000．…（8分）
若a＜4，任取x₁，x₂∈（0，a]且x₁＜x₂y1-y2=900(x1+

16

x1

)+5800-900(x2+

16

x2

)-5800=900[(x1-x2)+16(

1

x1

-

1

x2

)]=

900(x1-x2)(x1x2-16)

x1x2

∵x₁＜x₂≤a，∴x1-x2＜0，x1x 2＜a2＜16
∴y₁-y₂＞0
∴y=900(x+

16

x

)+5800在(0，a]上是減函數(shù)…（10分）
∴當(dāng)x=a時(shí)y有最小值900(a+

16

a

)+5800…（12分）
（此題利用導(dǎo)數(shù)相應(yīng)得分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，正確構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．