Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且f（-3）=0，當x＞0時，有f（x）+xf′（x）＜0恒成立，則不等式x²f（x）＞0的解集是（　�。�

A．（-3，3）

B．（-∞，-3）∪（0，3）

C．（-3，0）∪（0，3）

D．（-∞，-3）∪（3，+∞）

Answer 1

分析：x²f（x）＞0可化為f（x）＞0，且x≠0，f（x）+xf′（x）＜0，可化為[xf（x）]′＜0，從而可判斷x＞0時，y=xf（x）單調性，由f（x）的奇偶性可判斷y=xf（x）的奇偶性，再根據特殊點可作出y=xf（x）的草圖，由圖象可得f（x）＞0的解集，從而可得答案．

解答：解：f（x）+xf′（x）＜0，即[xf（x）]′＜0，
∴當x＞0時，y=xf（x）單調遞減，
又f（x）為奇函數，∴y=xf（x）為偶函數，
∵f（-3）=0，∴-3•f（-3）=0，且3f（3）=0，
作出函數y=xf（x）的草圖如圖所示：
由圖象知，當x＜-3時，xf（x）＜0，則f（x）＞0；當0＜x＜3時，xf（x）＞0，則f（x）＞0，
又x²f（x）＞0可化為f（x）＞0，且x≠0，
∴x²f（x）＞0的解集為：（-∞，-3）∪（0，3），
故選B．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查不等式的求解，考查數形結合思想，考查學生分析解決問題的能力．