Question

已知直線l被直線l₁：2x+y+1=0與l₂：x-2y-3=0截得的線段中點(diǎn)恰好為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求直線l的方程；
（2）若拋物線y=ax²-1（a≠0）上總不存在關(guān)于l對稱的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)l₁與l的交點(diǎn)P（a，-2a-1），l₂與l的交點(diǎn)Q（2b+3，b），兩者聯(lián)立，可得Q的坐標(biāo)，又由其過原點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)式可得l的方程．
（2）假設(shè)存在，先求存在時(shí)的a的值，求法為：設(shè)拋物線上存在兩點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）關(guān)于直線l：x+y=0對稱，設(shè)l_MN：y=x+t線段MN的中點(diǎn)為A（x₀，y₀），聯(lián)立直線題意拋物線的方程，可得A的坐標(biāo)，分析可得，當(dāng)a＞

3

4

時(shí)，拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：x+y=0對稱，反之可得答案．

解答：解：（1）設(shè)l₁與l的交點(diǎn)P（a，-2a-1），l₂與l的交點(diǎn)Q（2b+3，b）
則

a+2b+3=0 -2a-1+b=0

∴b=-1，則Q（1，-1），
故l的方程為：x+y=0（6分）
（2）設(shè)拋物線上存在兩點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）關(guān)于直線l：x+y=0對稱
設(shè)l_MN：y=x+t線段MN的中點(diǎn)位A（x₀，y₀）
由

y=x+t y=ax2-1

得ax²-x-t-1=0（8分）
△=1+4a（t+1）＞0①
且x^+x^=

1

a

x^x^=-

t+1

a

∴x0=

1

2a

y0=

1

2a

+t∴A(

1

2a

，

1

2a

+t)（10分）
中點(diǎn)A(

1

2a

，

1

2a

+t)在直線x+y=0上∴

1

2a

+

1

2a

+t=0即t=-

1

a

代入①得：a＞

3

4

即當(dāng)a＞

3

4

時(shí)，拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：x+y=0對稱，
故拋物線上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：x+y=0對稱時(shí)，a≤

3

4

且a≠0（14分）

點(diǎn)評：本題有一定難度，尤其在解（2）時(shí)，注意從反面下手，得到結(jié)論后，再回歸題目本意，從而得到答案．