Question

已知函數f(x)=log

1

2

2-ax

x-1

（a是常數）．
（1）若常數a＜2且a≠0，求f（x）的定義域；
（2）若常數0＜a＜2，且知f（x）在區間（2，4）上是增函數，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據對數函數的性質，我們根據對數函數的真數部分大于0，可以構造分式不等式

2-ax

x-1

＞0，進而根據常數a＜2且a≠0，及分式不等式的解法，分a＜0時和0＜a＜2時兩種情況分類討論，即可得到答案；
（2）由已知中f（x）在區間（2，4）上是增函數，根據復合函數單調性的確定原則，我們易判斷出u=

2-ax

x-1

=-a+

2-a

x-1

在（2，4）上是減函數，結合（1）中結論，我們易構造出關于a的不等式組，解不等式組即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）由

2-ax

x-1

＞0可知，
①當a＜0時，
解

2-ax

x-1

＞0得：
x＜

2

a

，或x＞1
∴函數的定義域為(-∞，

2

a

)∪(1，+∞)；
②當0＜a＜2時，
解

2-ax

x-1

＞0得：
1＜x＜

2

a

，
∴函數的定義域為(1，

2

a

)．
（2）令u=

2-ax

x-1

，
則f(x)=log

1

2

u減函數，
∴u=

2-ax

x-1

=-a+

2-a

x-1

在（2，4）上是減函數，
則：

2-a＞0 umin= 2-4a 4-1 ≥0 0＜a＜2

⇒0＜a≤

1

2

故a的取值范圍為（0，

1

2

]

點評：本題考查的知識點是對數函數的定義域，分式不等式的解法，函數單調性的判斷與證明，對數函數的單調性，其中（1）的關鍵是根據對數函數的真數部分大于0，構造分式不等式

2-ax

x-1

＞0，（2）的關鍵是根據復合函數單調性的確定原則，得到u=

2-ax

x-1

=-a+

2-a

x-1

在（2，4）上是減函數，進而構造出關于a的不等式組．本題（2）易忽略對數的真數大于0的同，而錯解為0＜a＜2．