Question

某汽車廠有一條價值為a萬元的汽車生產線，現要通過技術改造來提高該生產線的生產能力，提高產品的增加值，經過市場調查，產品的增加值y萬元與技術改造投入x萬元之間滿足：①y與（a-x）•x²成正比；②當x=

a

2

時，y=a³，并且技術改造投入滿足

x

2(a-x)

∈(0，t]，其中t為常數且t∈（1，2]．則函數y=f（x）表達式為

f（x）=8（a-x）x²

，定義域

(0，

2at

2t+1

]

．

Answer 1

分析：根據條件：①y與（a-x）•x²成正比，可設正比例函數y=k（a-x）•x²；由當x=

a

2

時，y=a³，可求k=8，從而得到函數的解析式，利用

x

2(a-x)

∈(0，t]，可求函數的定義域．

解答：解：由題意，設y=k（a-x）•x²
∵當x=

a

2

時，y=a³，∴k=8，∴y=8（a-x）•x²
∵

x

2(a-x)

∈(0，t]，∴x∈(0，

2at

2t+1

]
故答案為f（x）=8（a-x）x²； (0，

2at

2t+1

]．

點評：本題的考點是根據實際問題選擇函數類型，主要考查函數模型的構建，關鍵是假設正比例函數，利用待定系數法求解析式，應注意實際問題的意義，確定函數的定義域．