Question

【題目】已知橢圓的短軸長為，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程;

（Ⅱ）設橢圓的左，右焦點分別為，左，右頂點分別為，，點，，為橢圓上位于軸上方的兩點，且，直線的斜率為，記直線，的斜率分別為，，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）0.

【解析】

（Ⅰ）由題意，得2b，，結合隱含條件即可求得a，b的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ），可知A（﹣3，0），B（3，0），F1（﹣1，0），求得F1M的方程為，記直線F1M與橢圓的另一交點為M′，設M（x1，y1）（y1＞0），M′（x2，y2），得N（﹣x2，﹣y2），聯立直線方程與橢圓方程，求得M，N的坐標，代入斜率公式求解．

（Ⅰ）由題意，得，.

又，∴，，.

∴橢圓C的標準方程為.

（Ⅱ）

由（Ⅰ），可知，，.

據題意，直線的方程為.

記直線與橢圓的另一交點為，設，.

∵，根據對稱性，得.

聯立，消去，得.

∵，∴，.

∵，，

∴，即的值為0.