Question

設函數f（x）=x²+（m-1）x-2m-1（m∈R），
（1）設x₁，x₂為方程f（x）=0的兩實根，求g（m）=x₁²+x₂²的最小值；
（2）是否存在正數a和常數m，使得x∈[0，a]時，f（x）的值域也為[0，a]？若有，求出所有a和m的值；若沒有，也請說明理由．

Answer 1

解：（1）△=（m-1）²+4（2m+1）≥0?m∈（-∞，-5]∪[-1，+∞）
=（m+1）²+2
故m=-1時，g（x）_min=2．
（2）假設存在正數a和常數m滿足題意，則f（x）_min=0．
①若f（0）=0，則m=-，此時f（x）=x²
當x時，f（x）＜0，不符題意，舍；
②若f（a）=0，則f（0）=a，a=-2m-1
所以f（a）=（-2m-1）2+（m-1）（-2m-1）-2m-1=0，
得m=-（舍）或m=-1，a=1，經檢驗符合題意；
③若，則m²+6m+5=0?m=-1（符合題意）或m=-5
當m=-5時，f（x）=（x-3）²，x∈[0，a]上的值域為[0，a]．
因為f（0）=9，故無實數解；
綜上知，僅當a=1，m=-1時滿足題意．
分析：（1）判斷方程有兩個根時m的范圍，通過韋達定理得到g（m）=x₁²+x₂²的表達式，然后求解最小值；
（2）存在正數a和常數m，使得x∈[0，a]時，f（x）的值域也為[0，a]，利用二次函數單調性，通過分類討論求出所有a和m的值．
點評：本題考查二次函數的性質，函數的單調性的應用，分類討論思想的應用，考查轉化思想與計算能力．