Question

已知直線l：y=kx，圓C：x²+y²-2x-2y+1=0，直線l交圓于P、Q兩點，點M（0，b）滿足MP⊥MQ．
（I）當b=1時，求k的值；
（II）若k＞3時，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當b=1時，代入到圓方程可發現點M（0，1）在圓上．又MP⊥MQ，所以P、Q比在圓直徑上，即可得圓心一定在直線l上，代入即可得到答案．
（2）先設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯立方程組可得到兩根之和、兩根之積的關系式，再根據MP⊥MQ，即，可得x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0，代入可得答案．
解答：解：（1）∵C：x²+y²-2x-2y+1=0∴b=1時，點M（0，1）在圓上．又MP⊥MQ，圓心（1，1）在直線直線l：y=kx上，故k=1
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯立方程組，⇒（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，．
∵MP⊥MQ∴，即x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0．
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，∴（1+k²）x₁x₂-kb（x₁+x₂）+b²=0，
∴
當b=0時，此式不成立，
從而．
又∵k＞3，令t=k-1＞2，∴
令函數，當t＞2時，，g（t）＞5，從而
解此不等式，可得或
點評：本題主要考查直線和圓的方程的有關問題．一般思路將直線方程和圓方程聯立消去y，得到兩根之和、兩根之積，再代入有關關系式即可．