Question

已知函數f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x）．
（1）若a=

1

2

，求F（x）=f（x）-g（x）的單調區間；
（2）若a≥1恒成立，求證：f（x）≤g（x）．

Answer 1

分析：（1）把a的值代入，求出函數F（x）的定義域，求其導函數，由導函數大于0求解x的取值范圍，得函數的增區間，由導函數小于0求解x的取值范圍，得其減區間；
（2）構造輔助函數h（x）=f（x）-g（x），利用導數求該函數在其定義域內的最大值，由a的范圍得到其最大值小于等于0，從而問題得證．

解答：（1）解：當a=

1

2

時，F(x)=lnx+2x-

1

2

(x2+x)（x＞0），F′(x)=

1

x

-x+

3

2

=

2-2x2+3x

2x

=

-(2x+1)(x-2)

2x

∵x＞0，∴當0＜x＜2時，F'（x）＞0，當x＞2時，F'（x）＜0，
∴F（x）的增區間為（0，2），減區間為（2，+∞）；
（2）證明：令h（x）=f（x）-g（x）=lnx+2x-a（x²+x）（x＞0），
則由h′(x)=f′(x)-g′(x)=

1

x

+2-2ax-a=

-(2x+1)(ax-1)

2

=0，
解得x=

1

a

．
∴當x∈(0，

1

a

)時，h^′（x）＞0，h（x）在(0，

1

a

)上增，
當x∈(

1

a

，+∞)時，h^′（x）＜0，h（x）在(

1

a

，+∞)上減．
∴當x=

1

a

時，h（x）有極大值，h(

1

a

)=ln

1

a

+

2

a

-a(

1

a2

+

1

a

)=ln

1

a

+

1

a

-1
∵a≥1，∴ln

1

a

≤0，

1

a

-1≤0，∴ln

1

a

+

1

a

-1≤0．
而h（x）在（0，+∞）上的極大值也就是最大值．
∴h(x)≤h(

1

a

)≤0，所以f（x）≤g（x）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用構造函數法比較兩個函數的函數值大小，在公共定義域范圍內，兩個函數的差函數的函數恒小于0，說明被減函數的函數值恒小于減函數的函數值，此題是中檔題．