Question

 

如圖，五面體中，．底面是正三角形，．四邊形是矩形，平面平面

（I）求這個幾何體的體積；

（Ⅱ）在上運(yùn)動，問：當(dāng)在何處時，有∥平面，請說明理由；

（III）求二面角的余弦值．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解: （I）顯然這個五面體是四棱錐，因?yàn)閭?cè)面垂直于底面_{，所以正三角形的高就是這個四棱錐的高，又 ，，  所以.    于是}   ^.…………4分

（Ⅱ）當(dāng)為中點(diǎn)時,有∥平面_．

證明:連結(jié)連結(jié)，

∵四邊形是矩形  ∴為中點(diǎn),

∵∥平面_，

_且平面,平面

∴∥_，∴為的中點(diǎn)．…………8分

（III）建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則,,,_,

所以,,,

 , 設(shè)為平面的法向量,

則有,令,

可得平面的一個法向量為, 

 設(shè)為平面的法向量, 則有 ,

令,  可得平面的法向量，

,

所以二面角的余弦值為…………12分

注:本題也可以不建立坐標(biāo)系，解法從略，請按三小題分值給分