Question

已知關于x的方程x²-（6+i）x+9+ai=0 （a∈R）有實數根b.

（1）求實數a，b的值；

（2）若復數z滿足|-a-bi|-2|z|=0，求z為何值時，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.

Answer 1

（1）a=b=3（2）當z=1-i時，|z|有最小值且|z|_min=.

解析:

（1）∵b是方程x²-（6+i）x+9+ai=0 （a∈R）的實根，

∴（b²-6b+9）+（a-b）i=0，

故解得a=b=3.

（2）設z=x+yi （x，y∈R），

由|-3-3i|=2|z|，

得（x-3）²+（y+3）²=4（x²+y²），

即（x+1）²+（y-1）²=8.

∴Z點的軌跡是以O₁（-1，1）為圓心，2為半徑的圓.

如圖，當Z點在OO₁的連線上時，|z|有最大值或最小值.

∵|OO₁|=，半徑r=2，

∴當z=1-i時，|z|有最小值且|z|_min=.