Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=

k

3x+5

(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表達式．
（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值．

Answer 1

分析：（I）由建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=

k

3x+5

(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．我們可得C（0）=8，得k=40，進而得到C(x)=

40

3x+5

．建造費用為C₁（x）=6x，則根據隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達式．
（II）由（1）中所求的f（x）的表達式，我們利用導數法，求出函數f（x）的單調性，然后根據函數單調性易求出總費用f（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）設隔熱層厚度為x_cm，由題設，每年能源消耗費用為C(x)=

k

3x+5

．
再由C（0）=8，得k=40，
因此C(x)=

40

3x+5

．
而建造費用為C₁（x）=6x，
最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×

40

3x+5

+6x=

800

3x+5

+6x(0≤x≤10)
（Ⅱ）f′(x)=6-

2400

(3x+5)2

，令f'（x）=0，即

2400

(3x+5)2

=6．
解得x=5，x=-

25

3

（舍去）．
當0＜x＜5時，f′（x）＜0，當5＜x＜10時，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值點，對應的最小值為f(5)=6×5+

800

15+5

=70．
當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值為70萬元．

點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．