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定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+1)=f(x-1),x∈(0,1)時,f(x)=
2x4x+1

(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;
(2)求f(x)在[2k-1,2k+1](k∈Z)上的解析式;
(3)若關于x的方程|f(x)|=a無實數解,求實數a的取值范圍.
分析:(1)由定義域為R的奇函數f(x),又由當x∈(0,1)時,f(x)=
2x
4x+1
.利用奇函數f(-x)=-f(x),f(0)=0,我們可以求出f(x)在(-1,0)上的解析式,然后根據f(x)滿足f(x)=f(x-2k)求出f(-1),f(1)的值,即得到f(x)在[-1,1]上的解析式;
(2)設x∈[2k-1,2k+1],則x-2k∈[-1,1],利用f(x)是以2為周期的函數,即f(x-2k)=f(x)可求解.
(3)根據當x∈(0,1)時,f(x)=
2x
4x+1
,求出函數在區間(0,1)上的值域,即可得到方程|f(x)|=a無實數解,時,a的取值范圍.
解答:解:(1)當x∈(-1,0)時,-x∈(0,1),
f(-x)=
2-x
4-x+1
=
2x
4x+1

由f(x)為R上的奇函數,得f(-x)=-f(x),
∴當x∈(-1,0)時,f(x)=-f(-x)=-
2x
4x+1
,(4分)
又f(0)=-f(0),f(0)=0,
∵f(-1)=-f(1),f(-1)=f(1-2)=f(1),
∴f(-1)=0,f(1)=0,(7分)
f(x)=
-
2x
4x+1
,x∈(-1,0)
0,x=0,±1
2x
4x+1
,x∈(0,1)
(8分)
(2)因為f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1-1)=f(x)
所以,2是函數f(x)的一個周期(2分)
∵f(x)是以2為周期的函數,即f(x-2k)=f(x),k∈Z,
設x∈[2k-1,2k+1],則x-2k∈[-1,1],
∴f(x-2k)=
-
2x
4x+1
,x-2k∈(-1,0)
0,x-2k=0,±1
2x
4x+1
,x-2k∈(0,1)
,(k∈Z)(6分)
f(x)在[2k-1,2k+1](k∈Z)上的解析式:
f(x)=
-
2x
4x+1
,x∈(2k-1,2k)
0,x=2k,2k±1
2x
4x+1
,x∈(2k,2k+1)
,(k∈Z).
(3)∵x∈(0,1)
m=
2x
4x+1
=
1
2x+
1
2x
,(11分)
2x∈(1,2),
2x+
1
2x
∈(2,
5
2
)

當x=0,1時,m=0,
即當x∈[0,1]時,m∈(
2
5
1
2
)
∪{0}.    (14分)
∴當x∈[-1,1]時,|f(x)|∈(
2
5
1
2
)∪{0}

若關于x的方程|f(x)|=a無實數解,
則實數a的取值范圍為:(-∞,0)∪(0,
2
5
)∪(
1
2
,+∞).
點評:本題考查的知識點是函數與方程的綜合運用,函數解析式的求法,函數的值域,其中(1)中易忽略對f(0),f(-1)及f(1)值的確定,而錯解為f(x)=
-
2x
4x+1
,x∈(-1,0)
2x
4x+1
,x∈(0,1)
練習冊系列答案
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1
2
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x3-x2     x<0

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