Question

（2013•煙臺二模）已知銳角△ABC中的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，定義向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

⊥

n

，
（1）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的單調減區間；
（2）如果b=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：由兩向量的坐標及兩向量垂直，得到兩向量數量積為0求出B的度數，
（1）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，將B的度數代入，根據正弦函數的單調減區間求出x的范圍即可；
（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出關系式，利用基本不等式變形后，求出ac的最大值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將ac的最大值代入計算即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答：解：∵向量

m

=（2sinB，

3

），

.

n

=（2cos²

B

2

-1，cos2B），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=2sinBcosB+

3

cos2B=sin2B+

3

cos2B=2sin（2B+

π

3

）=0，
∴2B+

π

3

=kπ，即B=

k

2

π-

π

6

，k∈Z，
∵0＜B＜

π

2

，∴B=

π

3

，
（1）f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB=sin（2x-B）=sin（2x-

π

3

），
由2x-

π

3

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，得函數f（x）的單調減區間為[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z；
（2）由余弦定理得：16=a²+c²-2accos

π

3

=a²+c²-ac≥ac，
∴S_△ABC=

1

2

acsin

π

3

≤4

3

，
則△ABC面積的最大值為4

3

．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數量積運算，正弦函數的單調性，三角形面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．