Question

設平面向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，其中，k，t，s∈R．
（1）若

x

⊥

y

，求函數關系式s=f（t）；
（2）在（1）的條件下，若k=3，t∈[-2，3]，求s的最大值；
（3）實數k在什么范圍內取值時？對該范圍內的每一個確定的k值，存在唯一的實數t，使

x

•

y

=2-s．

Answer 1

（1）∵設平面向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，
又∵

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，
當

x

⊥

y

時，

x

•

y

=0
即[

a

+(t2-k)

b

]•[-s

a

+t

b

]=0
即-S+t³-kt=0
故s=t³-kt…（4分）
（2）∵k=3，
∴s=t³-3t，s'=3t²-3，
由s'=0?t₁=-1，t₂=1，
f（t）在（-∞，-1）上遞增，（-1，1）上遞減，（1，+∞）遞增，
又∵f（-1）=2，f（3）=18，
∴s的最大值為18                                     …（10分）
（3）∵

x

•

y

=2-s，
∴-s+t³-kt=2-s，t³-2=kt，…（12分）
當t=0時，等式不成立；
當t≠0時，k=t2-

2

t

，k′=2t+

2

t2

=

2(t3+1)

t2

=0?t=-1
k（t）在（-∞，-1）上遞減，（-1，0）上遞增，（0，+∞）遞增，
結合圖象可知k＜3時符合要求．…（16分）