Question

已知函數f(x)=log₂,g(x)=log₂(x-2)+log₂(p-x),且p＞2,設F(x)=g(x)+f(x).

(1)求使f(x),g(x)同時有意義的x的取值范圍；

(2)F(x)是否存在最大值或最小值？若存在，則求出它的最大值與最小值.

Answer 1

解:(1)由題意有

∴使f(x),g(x)同時有意義的x的取值范圍是（2,p）.

(2)F(x)=log₂+log₂(x-2)+log₂(p-x)=log₂［(x+2)(p-x)］,x∈(2,p),

令y=log₂t,t=(x+2)(p-x)=-x²+(p-2)x+2p=-(x-)²+,

若≤2,即2＜p≤6時，t在（2,p）上單調遞減.

因為F（x）的定義域是開區間，故f(x)此時無最大值也無最小值.

若≥p即p≤-2,此種情況不合題意，舍去.

若2＜＜p,即p＞6,則0＜t≤,

∴y≤log₂=2log₂(p+2)-2.

綜上知，當2＜p≤6時，F(x)無最大值也無最小值；當p＞6時，F(x)的最大值為2log₂(p+2)-2，沒有最小值.