Question

（2012•棗莊一模）設數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，對任意的n∈N^*，a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項．
（1）設b_n=a_n+1-a_n，證明數列{b_n}是等比數列，并求出其通項公式；
（2）寫出數列{a_n}的通項公式（不要求計算過程），求數列{a_n}中的最大項．

Answer 1

分析：（1）根據a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項，可得2a_n+2=a_n+1+a_n，整理可得a_n+2-a_n=-

1

2

（a_n+1-a_n），利用b_n=a_n+1-a_n，可得數列{b_n}是首項為1，公比為-

1

2

的等比數列，從而可求通項公式；
（2）利用疊加法可求數列{a_n}的通項公式，由（1），b_n=a_n+1-a_n=(-

1

2

)n-1，可得當n為偶數時，a_n+1＜a_n；當n為奇數時，a_n+1＞a_n，于是可得數列{a_n}中的最大項必在數列的偶數項中產生，確定數列{a_2n}為單調遞減數列，即可求得數列{a_n}中的最大項．

解答：（1）證明：∵a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項
∴2a_n+2=a_n+1+a_n，
∴a_n+2-a_n=-

1

2

（a_n+1-a_n）
∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=-

1

2

b_n，
∵b₁=a₂-a₁，a₁=1，a₂=2，
∴b₁=1，∴數列{b_n}是首項為1，公比為-

1

2

的等比數列，
∴b_n=(-

1

2

)n-1；
（2）解：∵a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+b₁+…+b_n-1=1+

1-(- 1 2 )n-1

1+ 1 2

=

5

3

-

2

3

×(-

1

2

)n-1
由（1），b_n=a_n+1-a_n=(-

1

2

)n-1
∴當n為偶數時，a_n+1-a_n＜0，∴a_n+1＜a_n；當n為奇數時，a_n+1-a_n＞0，∴a_n+1＞a_n，
于是可得數列{a_n}中的最大項必在數列的偶數項中產生
∵a_2n+2-a_2n=

1

2

×(-

1

2

)2n-1＜0
∴a_2n+2＜a_2n，
∴數列{a_2n}為單調遞減數列
∴數列{a_n}中的最大項為a2=

5

3

-

2

3

×(-

1

2

)2-1=2．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項，考查數列的單調性，正確確定數列的通項是關鍵．