Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=（2x-x²）e^x，則下列四個(gè)結(jié)論：
①f（x）＞0的解集為{x|0＜x＜2}
②f（x）的極小值為f（-

2

），極大值為f（

2

）
③f（x）沒有最小值，也沒有最大值
④f（x）沒有最小值，有最大值，
其中正確結(jié)論為（　　）

A．①②④

B．①②③

C．①③

D．②④

Answer 1

分析：令f（x）＞0可解x的范圍；對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令f'（x）=0求出x，在根據(jù)f'（x）的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可確定②正確．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷極大值即是原函數(shù)的最大值，無最小值，③不正確，④正確．從而得到答案．

解答：解：由f（x）＞0可得（2x-x²）e^x＞0
∵e^x＞0，∴2x-x²＞0，∴0＜x＜2，故①正確；
f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±

2

，
由f′（x）＜0得x＞

2

或x＜-

2

，由f′（x）＞0得-

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-

2

），（

2

，+∞）；單調(diào)增區(qū)間為（-

2

，

2

）．
∴f（x）的極大值為f（

2

），極小值為f（-

2

），故②正確．
∵x＜-

2

時(shí)，f（x）＜0恒成立．
∴f（x）無最小值，但有最大值f（

2

）
∴③不正確，④正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，主要考查函數(shù)的極值與其導(dǎo)函數(shù)關(guān)系，即函數(shù)取到極值時(shí)導(dǎo)函數(shù)一定等于0，但導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)還要判斷原函數(shù)的單調(diào)性才能確定原函數(shù)的極值點(diǎn)．