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若數(shù)列{an}滿足an+2+pan+1+qan=0(其中p2+q2≠0,且p、q為常數(shù))對(duì)任意n∈N*都成立,則我們把數(shù)列{an}稱為“L型數(shù)列”.
(1)試問等差數(shù)列{an}、等比數(shù)列{bn}(公比為r)是否為L(zhǎng)型數(shù)列?若是,寫出對(duì)應(yīng)p、q的值;若不是,說明理由.
(2)已知L型數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,an+1-4an+4an-1=0(n≥2,n∈N*),證明:數(shù)列{an+1-2an}是等比數(shù)列,并進(jìn)一步求出{an}的通項(xiàng)公式an
【答案】分析:(1)等差數(shù)列{an}、等比數(shù)列{bn}(n∈N*)都是L型數(shù)列,然后分別找出符合題意的p和q即可.
(2)將an+1-4an+4an-1=0(n≥2,n∈N*)化成an+1-2an=2an-4an-1=2(an-2an-1),根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行判定即可,然后求出新數(shù)列的通項(xiàng),在等式兩側(cè)同除以2n,可得是以為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列,求出通項(xiàng)即可求出an
解答:解:(1)答:等差數(shù)列{an}、等比數(shù)列{bn}(n∈N*)都是L型數(shù)列.
理由 當(dāng)數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列時(shí),有an+2-an+1=an+1-an,(1分)
即an+2-2an+1+an=0,且相應(yīng)的p=-2,q=1.                         (3分)
所以等差數(shù)列{an}(n∈N*)是L型數(shù)列.  (4分)
同樣,當(dāng)數(shù)列{bn}(n∈N*)是等比數(shù)列時(shí),有bn+2=rbn+1(r為公比),(5分)
即bn+2-rbn+1+0•bn=0,且相應(yīng)的p=-r,q=0.                     (7分)
所以等比數(shù)列{bn}(n∈N*)是L型數(shù)列.     (8分)
證明 (2)∵an+1-4an+4an-1=0(n≥2,n∈N*),
∴an+1-2an=2an-4an-1
=2(an-2an-1). (10分)
又a2-2a1=3-2=1(≠0),
∴數(shù)列{an+1-2an}(n∈N*)是以(a2-2a1)為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列. (12分)
于是,an-2an-1=(a2-2a1)•2n-2,即an-2an-1=2n-2(n≥2,n∈N*).
.因此,是以為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列.(14分)

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (16分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,同時(shí)考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式,構(gòu)造新數(shù)列是常用的方法,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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下列關(guān)于數(shù)列的命題中,正確的是(  )

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(2009•煙臺(tái)二模)若數(shù)列{an}滿足an+12-
a
2
n
=d
(d為正常數(shù),n∈N+),則稱{an}為“等方差數(shù)列”.甲:數(shù)列{an}為等方差數(shù)列;乙:數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則甲是乙的(  )

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1
m
,那么正數(shù)m的最小取值是(  )

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A.5
B.
C.7
D.

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若數(shù)列{an}滿足a≤an≤b,其中a、b是常數(shù),則稱數(shù)列{an}為有界數(shù)列,a是數(shù)列{an}的下界,b是數(shù)列{an}的上界.現(xiàn)要在區(qū)間[-1,2)中取出20個(gè)數(shù)構(gòu)成有界數(shù)列{bn},并使數(shù)列{bn}有且僅有兩項(xiàng)差的絕對(duì)值小于,那么正數(shù)m的最小取值是( )
A.5
B.
C.7
D.

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