Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3），其中0＜a＜1，記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域D；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為-4，求a的值；
（3）若對(duì)于D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，不等式-x²+2mx-m²+2m＜1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)使函數(shù)的解析式有意義的原則，構(gòu)造關(guān)于自變量x的不等式組，解得函數(shù)f（x）的定義域D；
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，并根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可分析出函數(shù)f（x）的最小值為-4時(shí)，a的值
（3）若不等式-x²+2mx-m²+2m＜1恒成立，即-x²+2mx-m²+2m的最大值小于1，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論后，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）要使函數(shù)有意義：
則有

1-x＞0 x+3＞0

，解得-3＜x＜1
∴函數(shù)的定義域D為（-3，1）…（2分）
（2）f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）=log_a（1-x）•（x+3）=log_a[-（x+1）²+4]，
∵x∈（-3，1）
∴0＜-（x+1）²+4≤4
∵0＜a＜1
∴l(xiāng)og_a[-（x+1）²+4]≥log_a4，
f（x）的最小值為log_a4，
∴l(xiāng)og_a4=-4，即a=

2

2

（3）由題知-x²+2mx-m²+2m＜1在x∈（-3，1）上恒成立，?x²-2mx+m²-2m+1＞0在x∈（-3，1）上恒成立，…（8分）
令g（x）=x²-2mx+m²-2m+1，x∈（-3，1），
配方得g（x）=（x-m）²-2m+1，其對(duì)稱軸為x=m，
①當(dāng)m≤-3時(shí)，g（x）在（-3，1）為增函數(shù)，∴g（-3）=（-3-m）²-2m+1=m²+4m+10≥0，
而m²+4m+10≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)m恒成立，∴m≤-3．       …（10分）
②當(dāng)-3＜m＜1時(shí)，函數(shù)g（x）在（-3，m）為減函數(shù)，在（m，1）為增函數(shù)，
∴g（m）=-2m+1＞0，解得m＜

1

2

．∴-3＜m＜

1

2

…（12分）
③當(dāng)m≥1時(shí)，函數(shù)g（x）在（-3，1）為減函數(shù)，∴g（1）=（1-m）²-2m+1=m²-4m+2≥0，
解得m≥2+

2

或m≤2-

2

，∴-3＜m＜

1

2

…（14分）
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （-∞，

1

2

）∪[2+

2

，+∞）    …（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的定義域及求法，函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．