Question

求不定積分∫

dx

(1+ex )2

．

Answer 1

分析：在較復(fù)雜函數(shù)的不定積分的求解中，可以采用換元的方法．設(shè)x=γ（t）是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，γ（t）^′≠0，又設(shè)f[γ（t）]γ（t）^′有原函數(shù)，則有換元公式∫f（x）dx=∫f[γ（t）]γ（t）^′dt．利用從公式既可求解．

解答：解：令1+e^x=t，
則dt=e^xdx=（t-1）dx，dx=

dt

t-1

.
∴∫

dx

(1+ex)2

=∫

dt

(t-1)t2

=∫(

1

t(t-1)

-

1

t2

)dt
=∫(

1

t-1

-

1

t

-

1

t2

)dt
=ln(t-1)-lnt+

1

t

+C
=lnex-ln(1+ex)+

1

1+ex

+C
=x-ln(1+ex)+

1

1+ex

+C．

點(diǎn)評：此題主要考查求不定積分的方法之一換元法的應(yīng)用，題目難度適中，要求與一定的計(jì)算量，以及一些固定函數(shù)不定積分的記憶．