Question

已知橢圓的左焦點為F₁（-1，0），點F₁關于直線16x+12y-9=0對稱點在橢圓上．
（I）求橢圓方程；
（II）點M（x，y）在圓x²+y²=b²上，M在第一象限，過M作圓x²+y²=b²的切線交橢圓于P、Q兩點，問|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中橢圓的左焦點為F₁（-1，0），可得c值，點F₁關于直線16x+12y-9=0對稱點在橢圓上可得a值，進而求出b值后，可得橢圓方程；
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別求出|F₂P|，|F₂Q|，結合相切的條件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²求出|PQ|，可得結論．
解答：解：（I）∵右焦點為F₂（1，0）∴c=1
左焦點為F₁（-1，0），點
在橢圓上
∴a=2，
所以橢圓方程為-------------------------------------（4分）
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）


∴--------------------------------------------------------．（7分）
連接OM，OP，由相切條件知：

∴---------------------------------------------------．（10分）
同理可求

所以|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=2+2=4為定值．-------------------------------------------（12分）
點評：本題考查的知識點是橢圓的標準方程，直線與圓的位置關系，直線與橢圓的位置關系，熟練掌握橢圓的性質是解答本題的關鍵．