Question

定義：若函數對于其定義域內的某一數，有，則稱是的一個不動點. 已知函數.
（1）當，時，求函數的不動點；
（2）若對任意的實數b，函數恒有兩個不動點，求實數的取值范圍；
（3）在(2)的條件下，若圖象上兩個點A、B的橫坐標是函數的不動點，且線段AB的中點C在函數的圖象上，求實數b的最小值．
(參考公式：若，則線段AB的中點坐標為)

Answer 1

（1）和3；（2）；（3）。

試題分析：(1) 當，時，由，    
解得或，故所求的不動點為和3.  ------------------3分
(2)令，則 ①
由題意，方程①恒有兩個不等實根，所以------------5分
即恒成立，       
則，    ------------------8分
(3)依題意設， 則AB中點C的坐標為
又AB的中點在直線上
∴ ------------9分
又是方程①的兩個根， ，即，
∴==  ------------11分

∴當  時，b_min=   ------------------12分
點評：做此題的關鍵是：①理解新定義：求函數的不動點即為求方程=的根；②發現參數b可以表示成參數a的函數即，至此，求參數b最小值的問題轉化為求b關于a的函數最小值的問題．