Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的一個(gè)零點(diǎn)為x=1，另外兩個(gè)零點(diǎn)可分別作為一橢圓、一雙曲線的離心率，則

b

a

的取值范圍是（　�。�

• A、(-∞，-2)∪(-

  1

  2

  ，+∞)
• B、（-2，-1）
• C、(-2，-

  1

  2

  )
• D、（-∞，-2）∪（-1，+∞）

Answer 1

分析：把x=1，y=0代入函數(shù)解析式求得a+b+c的值；然后求得a，b和c的關(guān)系代入函數(shù)解析式消去c，整理成f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，設(shè)g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b橢圓和雙曲線的離心率的范圍確定兩根的范圍確定g（0）＞0，g（1）＜0，最后利用線性規(guī)劃求得

b

a

的范圍．

解答：解：依題意可知f（1）=1+a+b+c=0
∴a+b+c=-1
1+a+b+c=0得c=-1-a-b代入
f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b
=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）
設(shè)g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b
g（x）=0的兩根滿足0＜x₁＜1 x₂＞1
g（0）=1+a+b＞0
g（1）=3+2a+b＜0
用線性規(guī)劃得-2＜

b

a

＜-

1

2

故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)和根的分布，圓錐曲線的共同特征，線性規(guī)劃的基礎(chǔ)知識．考查基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．