Question

已知某橢圓的焦點是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，過點F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且F₁B＋F₂B＝10，橢圓上不同的兩點A(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)滿足條件：F₂A，F₂B，F₂C成等差數列．

(1)求該橢圓的方程；

(2)求弦AC中點的橫坐標；

(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由橢圓的定義及已知得2a＝F1B＋F2B＝10，a＝5，又c＝4，所以b2－a2－c2＝9，故該橢圓的方程為＝1； 　　(2)由題意可得F2(4，0)，F2B＝，設點A(x1，y2)，C(x2，y2)，則F2A＝，又點A(x1，y1)在橢圓＝1上，故有＝1，，代入F2A＝得 　　F2A＝(25－4x1)(或直接利用焦半徑公式)，同理F2C＝(25－4x2)，因為F2A，F2B，F2C成等差數列，所以F2A＋F2C＝2F2B， 　　∴，x1＋x2＝8，故弦AC的中點的橫坐標x＝4； 　　(3)將x＝4代入y＝kx＋m(k≠0)，故點M的坐標為(4，4k＋m)，則kOM＝＝，又kAC＝＝，由＝1，＝1，兩式相減得＝，即·＝，·＝，k＝，∴4k＋m＝，點M(4，)又點M(4，)在橢圓＝1內，所以，解得，即m的取值范圍為() 　　分析：本題首先利用橢圓的定義將其方程求出；然后利用已知條件將弦的中點橫坐標找出；最后一個問題要注意挖掘隱含條件即相應的弦中點一定在橢圓內．