Question

設函數f（x）的定義域為D，若存在非零常數l，使得對于任意x⊆M（M⊆D）都有f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調函數，l是一個高調值．
現給出下列命題：
①函數f（x）=為R上的高調函數；
②函數f（x）=sin2x為R上的高調函數
③若函數f（x）=x²+2x為（-∞，1]上的高調函數，則高調值l的取值范圍是（-∞，-4]．
其中正確的命題個數是

1. A.
   0個
2. B.
   1個
3. C.
   2個
4. D.
   3個

Answer 1

D
分析：因為f（x+l）=，f（x）=，要使f（x+l）≥f（x），需要恒成立，只需l≤0；即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，所以①對；對于②，當l=π時f（x+l）≥f（x），恒成立；所以②對對于③，f（x+1）=（x+1）²+2（x+1），f（x）=x²+2x令（x+l）²+2（x+l）≥x²+2x即l²+2lx++2l≥0在（-∞，1]恒成立解得l≤-4故③對．
解答：對于①，f（x+l）=，f（x）=，要使f（x+l）≥f（x），需要恒成立，只需l≤0；即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，所以①對；
對于②，f（x+1））=sin2（x+1）≥sin2x=f（x），當l=π時恒成立；所以函數f（x）=sin2x為R上的高調函數
所以②對
對于③，f（x+1）=（x+1）²+2（x+1），f（x）=x²+2x
令（x+l）²+2（x+l）≥x²+2x
即l²+2lx++2l≥0在（-∞，1]恒成立
∴解得l≤-4故③對
故正確的命題個數是3個
故選D
點評：解決新定義題，關鍵是理解透題中“高調函數”的含義，屬于中檔題．