Question

函數f(x)=

ax+b

x2+1

是定義在（-∞，+∞）上的奇函數，且f（1）=

1

2

．
（1）求實數a，b，并確定函數f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在（-1，1）上的單調性，并用定義證明你的結論．
（3）寫出f（x）的單調減區間，并判斷f（x）有無最大值或最小值？如有，寫出最大值或最小值．（本小問不需說明理由）

Answer 1

分析：（1）根據奇函數的定義以及f（1）=

1

2

，求出b和a的值，解開得到f（x）的解析式．
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，根據函數單調性的定義可證明f（x）在（-1，1）上是增函數．
（3）類比（2）中函數的在（-1，1）上的單調性可得f（x）的單調減區間，結合（2）中結論可得函數的最值．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數，
∴f（-x）=f（x），即

ax+b

x2+1

=-

-ax+b

x2+1

，
∴b=0．  …（2分）
∵f（1）=

1

2

∴a=1．
∴f（x）=

x

x2+1

． …（5分）
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x1-x2)(1-x1•x2)

(x12+1)(x22+1)

．  …（7分）
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，故 

(x1-x2)(1-x1•x2)

(x12+1)(x22+1)

＜0，
故有f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函數． …（10分）
（3）單調減區間（-∞，-1]，[1，+∞），…（12分）
當x=-1時有最小值-

1

2

，當x=1時有最大值

1

2

． …（14分）

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，用待定系數法求函數的解析式，屬于中檔題．