Question

設a是正數，ax+y=2(x≥0，y≥0)，記y+3x－x²的最大值是M(a)。試求：

(1)M(a)的表達式；

(2)M(a)的最小值。

Answer 1

答案：
解析：

由ax十y=2解出y后代入y+3x－x2中，消去y，將代數式y+3x－x2表示為只含一個字母x的二次函數，逐步分類求M(a)。     (1)設S(x)=y+3x－x2，將y=2－ax代入消去y，得S(x)=2－ax+3x－x2=－x2+(3－a)x+2=－ [x－(3－a)]2+(3－a)2+2(x≥0)，     ∵y≥0，∴2－ax≥0    而a＞0，∴0≤x≤，     下面分三種情況求M(a)：     ①當0＜3－a＜(a＞0)，即     時解得0＜a＜1或2＜a＜3。這時     M(a)=S(3－a)=(3－a)2+2。     ②當3－a≥(a＞0)，即     時，解得1≤a≤2，這時M(a)，=S=。     ③當3－a≤0，即a≥3時，M(a)=S(0)。     綜合以上，得         (2)下面分情況探討M(a)的最小值。     當0＜a＜1或2＜a＜3時，M(a)=(3－a)2+2＞2。     當1≤a≤2時，M(a)=。     ∵1≤a≤2，     ∴當時，M(a)取最小值，即M(a)≥M(2)=，當a≥3時，M(a)=2。     經比較上述各類中M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。