Question

已知向量

a

=（sinθ，cosθ-2sinθ），

b

=（1，2）．
（1）若

a

∥

b

，求tanθ的值；
（2）若|

a

|=|

b

|，0＜θ＜π，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量的共線定理的坐標表示即可解題．
（2）由|

a

|=|

b

|化簡得sin2θ+cos2θ=-1，再由θ∈（0，π）可解出θ的值．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

∴2sinθ=cosθ-2sinθ即4sinθ=cosθ
∴tanθ=

1

4

（2）由|

a

|=|

b

|
∴sin²θ+（cosθ-2sinθ）²=5
即1-2sin2θ+4sin²θ=5化簡得sin2θ+cos2θ=-1
故有sin（2θ+

π

4

）=-

2

2

又∵θ∈（0，π）∴2θ+

π

4

∈（

π

4

，

9

4

π）
∴2θ+

π

4

=

5

4

π或2θ+

π

4

=

7

4

π
∴θ=

π

2

或θ=

3

4

π

點評：本題主要考查平面向量的共線定理的坐標表示以及向量的求模運算．向量和三角函數的綜合題是高考的熱點問題，每年必考．