Question

已知正方體ABCD、EFGH的棱長為1，現從8個頂點中隨機取3個點構成三角形，設隨機變量X表示取出的三角形的面積．
（I）求概率；
（II）求X的分布形列及數學期望E（X）．

Answer 1

【答案】分析：（I）從正方體的8個頂點中任意取3個構成三角形的頂點共有種取法，然后借助于正方體找出面積分別為的三角形的個數，利用等可能事件的概率公式即可求解
（II）先判斷出由正方體的頂點組成的三角形的面積的可能值即X可能取值，求出其概率，即可求解分布列和期望
解答：解：（I）從正方體的8個頂點中任意取3個構成三角形的頂點共有種取法
其中X=的三角形如圖中的△ABC，這類三角形共有24個
∴P（X=）==
（II）由（I）知，形如△BEG的三角形有8個，其面積為
形如△ABC的三角形有4×6=24個，這些三角形的面積都是
形如△ABG的三角形有4×6=24個，這些三角形的面積都是
而X可能取值有
P（X=）=
P（X=）=
∴隨機變量X的分布列為

EX=
點評：本題主要考查了離散型隨機變量的分布列及期望的求解，解題的關鍵是準確求出各種情況下的概率