Question

已知正項數列的前項和，．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）定理：若函數在區間D上是凹函數，且存在，則當 時，總有．請根據上述定理，且已知函數是上的凹函數，判斷與的大小；

（Ⅲ）求證：．

Answer 1

（Ⅰ）（）．                         

（Ⅱ）．                                               

（Ⅲ）由（Ⅱ），得．

解析:

（Ⅰ）時，或．

由于是正項數列，所以．

當時，

，                               

整理，得．

由于是正項數列，∴．

∴數列是以1為首項，1為公差的等差數列．      

從而，當時也滿足．

∴（）．                         

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

對于上的凹函數，有．

根據定理，得．　　　　　　　　　　　

整理，得．

令，得．          

∴，即．

∴．                                              

（Ⅲ）由（Ⅱ），得．