Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長為1的正四棱柱，O₁為A₁C₁與B₁D₁的交點．
（1）設AB₁與底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小為α，二面角A-B₁D₁-A₁的大小為β．求證：tanβ=

2

tanα；
（2）若點C到平面AB₁D₁的距離為

4

3

，求正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

Answer 1

分析：（1）此題由題意畫出圖形因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長為1的正四棱柱，O₁為A₁C₁與B₁D₁的交點，且設AB₁與底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小為α，二面角A-B₁D₁-A₁的大小為β，所以應先利用線面角及二面角的定義求出α，β，即可得證；
（2）由圖形借助面面垂直找到點C在平面AB₁D₁的位置，利用三角形的相似解出．

解答：解：（1）由題意畫出圖形為：

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長為1的正四棱柱，
∴底面為正方形且邊長為1，又因為AB₁與底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小為α，∴∠AB1A1=α  ，tanα=

AA1

A1B1

，
又因為二面角A-B₁D₁-A₁的大小為β，且底面邊長為1的正四棱柱，O₁為A₁C₁與B₁D₁的交點，∴∠AO₁A₁=β，∴

2

tanβ=

AA1

A1O1

 
而底面A₁B₁C₁D₁為邊長為1的正方形，∴A1B1= 

2

A1O1，∴tanβ=

2

tanα．
（2）∵O₁為B₁D₁的中點，而△AB₁D₁是以B₁D₁為底邊的等腰三角形，∴AO₁⊥B₁D₁∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁∴平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁
且交線為AO₁，∴點C到平面AB₁D₁的投影點必落在A0₁上即垂足H，在矩形AA₁C₁C中，利用R_t△AA₁O₁∽R_t△CHA 得到

A1O1

AA1

=

AH

CH

，而AH=

AC2-CH2

=

2-( 4 3 )2

，∴

A1O1

AA1

=

AH

CH

?

2 2

AA1

=

2 3

4 3

?AA₁=2，
故正四棱錐的高為AA₁=2．

點評：此題重點考查了線面角，二面角，點到面的距離這些定義，還考查了學生的空間想象能力及計算能力．