Question

如圖，某小區準備在一直角圍墻ABC內的空地上植造一塊“綠地△ABD”，其中AB長為定值a，BD長可根據需要進行調節（BC足夠長）．現規劃在△ABD的內接正方形BEFG內種花，其余地方種草，且把種草的面積S₁與種花的面積S₂的比值

S1

S2

稱為“草花比y”．
（Ⅰ）設∠DAB=θ，將y表示成θ的函數關系式；
（Ⅱ）當BE為多長時，y有最小值，最小值是多少．

Answer 1

分析：（1）由于題目中“設∠DAB=θ，”，故可利用解三角形的知識解決“草花比y”；
（2）由于式子“y=

1

2

(tanθ+

1

tanθ

)≥1”括號中兩式的積是定值，故利用二元不等式求其最小值．

解答：解：（Ⅰ）因為BD=atanθ，
所△ABD的面積為

1

2

a2tanθ（θ∈(0，

π

2

)） （2分）
設正方形BEFG的邊長為t，則由

FG

AB

=

DG

DB

，
得

t

a

=

atanθ-t

atanθ

，（4分）
解得t=

atanθ

1+tanθ

，則S2=

a2tan2θ

(1+tanθ)2

（5分）
所以S1=

1

2

a2tanθ-S2，
則y=

s1

S2

=

(1+tanθ)2

2tanθ

-1（8分）
（Ⅱ）因為tanθ∈（0，+∞），所以
y=

1

2

(tanθ+

1

tanθ

)≥1（10分）
當且僅當tanθ=1，時取等號，此時BE=

a

2

．
所以當BE長為

a

2

時，y有最小值1．（12分）

點評：本題主要考查函數在實際生活中的應用、解三角形以及利用二元不等式求函數最值的方法，解決實際問題通常有幾個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果，其中關鍵是建立數學模型．