Question

(1)求右焦點坐標是，且經過點的雙曲線的標準方程；

(2)已知雙曲線C的方程是(a，b＞0)．設斜率為k的直線l，交雙曲線C于A、B兩點，AB的中點為M．證明：當直線l平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上；

(3)利用(2)所揭示的雙曲線幾何性質，用作圖方法找出下面給定雙曲線的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標出雙曲線的中心．

Answer 1

答案：
解析：

[解](1)設雙曲線的標準方程為，， 　　∴，即雙曲線的方程為， 　　∵點在雙曲線上，∴， 　　解得或(舍)， 　　由此得，即雙曲線的標準方程為．　　5分 　　(2)設直線的方程為，　　6分 　　與雙曲線的交點()、()， 　　則有， 　　解得， 　　∵，∴，即． 　　則， 　　∴中點的坐標為．　　10分 　　∴線段的中點在過原點的直線上．　　11分 　　注：本題用點差法求解更好．如上將A、B點坐標代入雙曲線方程得， 　　，兩式相減得(※)，設中點坐標為(x，y)，又，代入(※)式整理得， 　　∴線段的中點在過原點的直線上． 　　(3)如圖，作兩條平行直線分別交雙曲線于、和，并分別取、的中點，連接直線；又作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交交雙曲線于、和，并分別取、的中點，連接直線，那么直線和的交點即為交雙曲線中心．