Question

如圖,平面EFGH分別平行于CD、AB,E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上,并且CD=a,AB=b,CD⊥AB.

(1)求證:四邊形EFGH是矩形;

(2)點E在什么位置時,矩形EFGH的面積最大?

Answer 1

(1)證明:∵CD∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BCD=EF,

∴CD∥EF.

同理,HG∥CD,

∴EF∥HG.

同理,HE∥GF,

∴四邊形EFGH為平行四邊形.

∵CD∥EF,HE∥AB,

∴∠HEF為AB和CD所成的角.

∵CD⊥AB,

∴HE⊥EF.

∴四邊形EFGH為矩形.

(2)解析:由(1)可知在△BCD中,EF∥CD,

設DE=m,EB=n,則.

∴EF=a.

同理,HE=b.

∵四邊形EFGH為矩形,

∴S_矩形EFGH=HE·EF=.

∵m+n≥,

∴(m+n)²≥4mn.

∴(當且僅當m=n時取“=”，即E為BD的中點時“=”成立）.

∴當E為BD的中點時,(S_矩形EFGH)_max=ab.