Question

已知圓C：（x-1）²+（y-1）²=1，點P為直線l：3x+4y+1=0上的一動點，若在圓C上存在點M使得∠MPC=30°，則點P橫坐標的取值范圍

[-

23

25

，1]

．

Answer 1

分析：從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角，切線為PM，PN，則∠MPC=30°時，∠MCN為120°，所以PC的長度為2，故可確定點P的橫坐標x₀的取值范圍．

解答：解：由題意，從直線上的點向圓上的點連線成角，
當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角，
不妨設切線為PM，PN，
則∠MPC=60°時，∠MCN=120°，
∵C：（x-1）²+（y-1）²=1中，圓心C（1，1），半徑r=1，
∴PC=2，
故問題轉化為在直線l：3x+4y+1=0上找到一點P，使它到點C的距離為2．
設P（x₀，

-1-3x0

4

），
∵C（1，1），∴（x₀-1）²+（

-1-3x0

4

-1）²=4，
解得x₀=1或x₀=-

23

25

，
∴點P的橫坐標x₀的取值范圍是[-

23

25

，1]．
故答案為：[-

23

25

，1]．

點評：本題考查直線與圓的方程的應用，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是明確從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角．