Question

14．已知函數f（x）=a^2-x-8（實數a＞0，a≠1）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性并證明；
（2）若x∈[1，+∞），求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）先求出函數的定義域，然后結合f（-x）與f（x）的關系得答案；
（2）分a＞1與0＜a＜1可得原函數的單調性，由單調性求得函數值域．

解答 解：（1）函數f（x）=a^2-x-8是非奇非偶函數．
證明：函數f（x）=a^2-x-8的定義域為R，
又f（-x）=a^2+x-8≠-f（x），且f（-x）=a^2+x-8≠f（x），
∴函數為非奇非偶函數；
（2）由題意，當a＞1時，函數f（x）=a^2-x-8是減函數，
當x∈[1，+∞）時，f（x）∈（-8，a-8]；
當0＜a＜1時，函數為增函數，
當x∈[1，+∞）時，f（x）∈[a-8，+∞）．
∴當a＞1時，函數f（x）=a^2-x-8的值域為（-8，a-8]；
當0＜a＜1時，函數f（x）=a^2-x-8的值域為[a-8，+∞）．

點評 本題考查函數的奇偶性的判定方法，考查函數值域的求法，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．