Question

（12分）

如圖,在直三棱柱中,,為中點.

 

 

（１）求證:;

（２）求證: ∥平面 ;

（３）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

解：解法一:

(Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影為.

由可得.

所以.     ………………..4分

(Ⅱ)設與交于點則為中點.

在中, 連結分別為的中點,

∥,又平面,平面,

∥平面.                                      ………………8分

(Ⅲ)過作于,連結.

由底面可得.

故為二面角的平面角.

在中,,

在中,        

二面角的余弦值為 .  ……………………………………12分

解法二 直三棱柱,底面三邊長,

兩兩垂直.

如圖以為坐標原點,建立空間直角坐標系,

 

 

則.

 (Ⅰ),

.              ……………….4分

(Ⅱ)同解法一 …………………………………………..………..8分

(Ⅲ)平面的一個法向量為,

設平面的一個法向量為,

,,

由

令,則.

則.

故＜＞=.

故二面角的余弦值為.  ……………………………….12分

【解析】略