Question

設圓臺的高為3，其軸截面（過圓臺軸的截面）如圖所示，母線A₁A與底面圓的直徑AB的夾角為60°，在軸截面中A₁B⊥A₁A，求圓臺的體積V．

Answer 1

分析：根據圓臺的軸截面，求出圓臺的上底半徑和下底半徑，然后利用圓臺的體積公式求體積．

解答：解：設AB的中點為O，作A₁D⊥AB，則A₁D=3，
∵A₁B⊥A₁A
∴在直角△A₁AB中，A₁O=

1

2

AB=AO，
又∵∠A₁AB=60°
∴△A₁AO為等邊三角形．
∴在△A₁AO中A₁D=

3

2

AO=3，得AO=2

3

，
設圓臺的上、下底面半徑分別為r，R．
∴R=AO=2

3

，r=DO=

1

2

A0=

3

，
∴上、下底面面積分別為：S'=πr²=3π，S=πR²=12π，
∴體積v=

1

3

(S′+S+

S′S

)•A1D=

1

3

(3π+

36π2

+12π)×3=21π．
∴圓臺的體積為21π．

點評：本題主要考查三視圖的應用，以及圓臺的體積公式，要求熟練掌握規則幾何體的體積公式．