Question

（20分）在一次實戰軍事演習中，紅方的一條直線防線上設有20個崗位。為了試驗5種不同新式武器，打算安排5個崗位配備這些新式武器，要求第一個和最后一個崗位不配備新式武器，且每相鄰5個崗位至少有一個崗位配備新式武器，相鄰兩個崗位不同時配備新式武器，問共有多少種配備新式武器的方案？

Answer 1

解析： 設20個崗位按先后排序為1，2，，… ，20，且設第k種新式武器設置的序號為 。令，，，，，

，則有

                                        （*）

其中，。       -------------------------------------- 5分

作代換 ，，從而有

                                        （**）

其中      。    ---------------------------------------------------------- 10分

現求解問題（**）:

方法一： 設I為的正整數解的全體，為I中滿足的解的全體。則

上式成立的原因是，因為沒有同時滿足，，的的正整數組。所以

.   -------------- 15分

方法二 ：問題（**）的解數等于展開式中的系數。

而，

故只須求展開式中的系數。

因此的系數為 6×15＋20×20＋6×15 ＝ 580。  ----------------------------------------- 15分

因為5種新式武器各不相同，互換位置得到不同的排列數，所以配備新式武器的方案數等于

。   ------------------------------------------ 20分